Watt's curve, Wattsche Kurve
| Courbe étudiée par Watt en 1784. James Watt (1736 - 1819) : ingénieur et mécanicien écossais (celui des kilowatts...). Autres noms : lemniscoïde, courbe à longue inflexion. |
Une courbe de Watt est le lieu du milieu de la bielle [PQ] d'un quadrilatère articulé (APQB) vérifiant AP = BQ , A et B étant fixes - c'est donc un cas particulier de courbe du trois-barres à manivelles de même longueur ; ici, A(0, a), B(0, -a), AP = BQ = b, PQ =2c.
La courbe est non vide ssi 
et elle passe par O ssi a, b, c sont les côtés d'un triangle, c'est-à-dire 
, soit 
; le point O est alors à la fois point double et point d'inflexion de chaque branche, qui est alors presque rectiligne au voisinage de O.
et elle passe par O ssi a, b, c sont les côtés d'un triangle, c'est-à-dire , soit ; le point O est alors à la fois point double et point d'inflexion de chaque branche, qui est alors presque rectiligne au voisinage de O. Si l'on cherche les points où les tangentes en O recoupent la courbe, on trouve que ces points sont confondus avec O (autrement dit, que le contact est d'ordre deux) lorsque 
.
. Watt qui recherchait pour les mécanismes des machines à vapeur à obtenir un mouvement le plus rectiligne possible a construit son mécanisme dans ce cas, qui présente de plus l'intérêt que si les deux barres AP et BQ sont horizontales au passage de M en O, la barre QP est verticale.
Mécanisme de Watt : a = 3, b = 4, c= 5.
L'intérêt d'obtenir un mouvement rectiligne par système articulé est d'éviter les frottements dus aux glissières, sources d'usure.
Lorsque la bielle [PQ] a même longueur que la barre fixe [AB] (c = a) , la courbe se décompose en la réunion du cercle (O, b) (cas où (APQB) est un parallélogramme), et d'une courbe de Booth ; on obtient un ovale si b > 2a , deux cercles si b = 2a (cas où le quadrilatère est un carré), une lemniscate si b < 2a, qui est de Bernoulli quand 
.
. NB : dans les animations ci dessous, P parcourt (CB) à vitesse constante, ce qui provoque des saccades sur le parcours de Q sur (CB).
 cas a = c < b/2 : ovale de Booth + cercle |  cas a = c = b/2 : trois cercles; pour les deux petits cercles rouge, le quadrilatère articulé est entièrement replié sur lui-même |  cas a = c > b/2 : lemniscate de Booth + cercle |
D'une façon générale, le passage par O est obtenu pour 
, formule donnant aussi les angles polaires des tangentes correspondantes. On remarque que si d = 0, soit 
, les deux tangentes sont alors confondues.
, formule donnant aussi les angles polaires des tangentes correspondantes. On remarque que si d = 0, soit , les deux tangentes sont alors confondues. Dans le cas a ¹ c les courbes prennent donc les formes suivantes :
 b > a + c et c < 2a : courbe ayant deux composantes |  2a £ c < b - a : courbe à deux croisements |  |a-b| < c < a : huit vertical |
 b/2 £ a < c < Ö(a2 + b2) : courbe à trois croisements. |  c = Ö(a2 + b2) : huit vertical avec croisement tangent. |  Ö(a2 + b2) < c < a + b : huit vertical. |
Dans le cas où la courbe a deux composantes connexes, les 2 points d'intersections avec l'axe de symétrie médians ont une courbure nulle si 
; dans le cas a = 2 , c = 1 on a b = 
; l'approximation avec une droite est alors meilleure qu'avec le dispositif de Watt, mais les barres se croisent, ce qui est gênant pour une utilisation industrielle.
; dans le cas a = 2 , c = 1 on a b = ; l'approximation avec une droite est alors meilleure qu'avec le dispositif de Watt, mais les barres se croisent, ce qui est gênant pour une utilisation industrielle.  Mécanisme de Tchébychef a = 2 , b = 5, c = 1 |  Scie utilisant le mécanisme de Tchebycheff |
Mais voici ce que devient la partie pseudo-rectiligne après élongation des ordonnées :
Un mouvement mathématiquement rectiligne obtenu par système articulé nécessite au moins 5 barres mobiles et est obtenu en particulier avec le mécanisme de Hart, ou l'inverseur de Peaucelier
المصدر: http://www.mathcurve.com/courbes2d/watt/watt.shtml
.......... شرح لمنحنى واط ........
التفسير الهندسي ( المحل الهندسي )
مجموعة النقط M هي منتصف القطعة [PQ] حيث P و Q من دائرتين لهما نفس نصف القطر أي AP=BQ .
أي أن منحنى واط هو المنحني الذي ترسمه النقطة M بعد تحرك كل من النقطتين P و Q على الدائرتين ( أي بعدما تمسح كل من P و Q جميع نقط الدائرتين)، مع الشرط AP=BQ.
أنظر الشكل.
بقلم : قوادرية/ع
و الصلاة والسلام على أشرف المرسلين.
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ردحذفوعليكم السلام و رحمة الله و بركاته
حذفالشكر موصول لكم على مروركم الطيب و اهتمامكم واستفساركم
في حقيقة الأمر، المنحنى كان متروك للبحث والنقاش ولولا فضلكم لبقيت الصورة بدون تعليق.
فنحن ندعوا الله لكم بالتوفيق.
اللهم صل وسلم وبارك على سيدنا محمد كلما ذكره الذاكرون وغفل عن ذكره الغافلون.